◮ 計算
assume (real) =R
◮ 求解+ 解 x=i,解なし
x3−3x2+x−3 = 0,解: 3
|3x−2|= 5,解: −1,73
5次以上の方程式については一般的な解の公式はありません. 従って,そのような場合は陰関数を 使って解の存在を示すにとどめます. ただし, 3次式や4次式の多項式でも時として解が大変複雑 な形になる場合があります. プレビュー,印刷,保存などのことを考えて,複雑な数式ではなく,そ れらを陰関数で表示させるよう設定を変更することもできます.
◮ 保存オプションの変更
1. ツール+計算エンジン設定を選択します.
2. 一般タブで最大次数を1, 2, 3または4に設定します.
次数を1とすると,有理数や簡単な解しか計算されません. 2次や3次に設定すると, 3次以上の 多項式については陰関数で解の存在のみ示します.
◮ 求解+解(最大次数を1に設定)
5x2+ 3x= 1,解: ρ1 ここでC∩ρ1 は次式の解 3
5Zˆ+ ˆZ2−15 x4+x= 0解:{−1,0} ∪ρ1ここでρ1は次式の解−Zˆ+ ˆZ2+ 1
◮ 求解+解(最大次数を2または3に設定) 5x2+ 3x= 1,解: 101√
29−103,−101√ 29−103 x4+x= 0,解: 12i√
3 +12,12−12i√ 3,−1,0
x4+x−1 = 0,解: ρ1ここでρ1 は次式の解Zˆ+ ˆZ4−1
◮ 求解+ 解(最大次数を4に設定) x4+x,解: 12i√
3 +12,12−12i√ 3,−1,0
x4+x−1 = 0,解: [この解は確かに存在しますが,印刷するにはあまりにも大きすぎるので省略
します.]
関数solveは数式を引数とします. 関数solveを付けて関数を入力し,計算コマンドを実行すると
次の例のように解を求められます. 数式モードで”solve”を入力すると自動的に灰色で表示され ます. これが灰色で表示されない時は,挿入+数式名コマンドを利用して,改めて数式名を作成し ます.
◮ 計算 solve solve(
5x2+ 3x= 1)
={[
x=−101√
29−103] ,[
x=101√
29−103]}
3.3 多項式を解く 65
答えを確認する
関数定義の項目で解説した方法で答えを確認できます(59ページ参照). このサンプルを操作し終 わったら,関数定義+全定義の削除を選びます.
Example 5 前出の例で求めた答えを確認します.
• 変数aをa= 5と定義し,式 14 a+ 2− 1
a−4 を計算すると 14 a+ 2− 1
a−4= 1.
• 変数xをx= 0.238 52と定義すると, 5x2+ 3x= 1.0.変数xをx=−0.838 52と定義す ると5x2+ 3x= 1.0が得られます.
• 変数xをx=−3 10+ 1
10
√29と定義して,計算コマンドと簡単化を実行すると次のように なります.
5x2+ 3x= 5 (1
10
√29− 3 10
)2
+ 3 10
√29− 9 10= 1
3.3.2 複数の変数を持つ方程式
複数の変数を持つ方程式で求解+解コマンドを実行するか,または をクリックします. 変数 を指定するダイアログが自動的に表示されますので,目的の変数を入力します.
◮ 求解+解 1
x+1
y = 1 (xを入力),解:
判定不可 if y= 1 {−11
y−1
} if y̸= 1
1 y+1
z+1
x= 1 (zを入力),解:
判定不可 if −1 x−1
y+ 1 = 0 {−1 1
x+1y−1
} if −1 x−1
y+ 1̸= 0 1
r1 + 1 r2 = 1
R (Rを入力),解:
判定不可 if 1 r1
+ 1 r2
= 0 {
1
1 r1+r1
2
} if 1
r1 + 1 r2 ̸= 0
3.3.3 連立方程式
連立方程式を作成する場合は1列の行列に入力する方法と複数のディスプレイに入力する方法が あります.
◮ 行列を使って連立方程式を作成する
1. 行列ボタン をクリックするか,挿入メニューから行列を選択します. 2. 方程式の数分だけ行数を設定します.
3. 列数は1とし, OKボタンをクリックします. 4. 方程式をそれぞれのセルに入力します.
◮ ディスプレイに連立方程式を入力する
1. アイコン をクリックするか,挿入+ディスプレイを選択します. 2. ディスプレイにひとつの数式を入力します.そしてenterキーを押します.
Tip 表示メニューからヘルパーラインを選択するか,または入力ボックスを選択して行列,また は,ディスプレイの入力位置を確認します.
◮ 連立方程式を解く
1. 連立方程式を入力し,数式にカーソルを配置します.
2. 求解サブメニューから解を選択するか をクリックします.
3. 変数を決めるダイアログが表示された場合は,目的の変数を入力します. 変数が複数ある場 合はコンマ区切りで入力します.
次に連立方程式の求解の例を紹介します.
◮ 求解+解 2x−y= 5 x+ 3y= 4 ,解:
[ x=19
7, y=3 7 ]
x2−y2= 5
x+y= 1 ,解: [x= 3, y=−2]
x2−3y= 7 6x+ 4y= 9 ,解:
[x=−14√
301−94, y=38√
301 +458] , [x=14√
301−94, y=458 −38√ 301]
式の数より不明なパラメータの数が多い場合は,ダイアログボックスに変数を指定することができ ます.
◮ 求解+ 解 2x−y= 1 x+ 3z= 4 w+x=−3
,x, y, z を求めるための変数
解: [
x=−w−3, y=−2w−7, z=1 3w+7
3 ]
3.3.4 数値解
浮動小数点形式で表示される数値解を求める場合は,方程式の係数の一つに小数点を付けて求解サ ブメニューから解コマンドを実行するか,または同じ求解サブメニューから数値解のコマンドを選 択します. 求解+数値解コマンドを実行すると多項式の実数解を求めることができます. ただし, 連立方程式に対してこのコマンドを実行すると一つの解しか求められません. 逆に,超越方程式の 求解や解の間隔を求める場合には優先的に利用してください.
◮ 求解+解
3.3 多項式を解く 67
x2+ 7x−5.2 = 0,解: 0.677 32,−7.677 3
x3−3.8x−15.6 = 0,解: −1.5−1.717 6i,−1.5 + 1.717 6i,3.0
求解サブメニューの数値解を選ぶことができます. これは,多項式や連立方程式に対して,実数お よび複素数のすべての解を求めます.
◮ 求解 +数値解
x2+ 7x−5.2 = 0,解:{[x= 0.677 32],[x=−7.677 3]} x3−3.8x−15.6 = 0,
解: {[x=−1.5 + 1.717 6i],[x=−1.5−1.717 6i],[x= 3.0]} x8+ 3x2−1 = 0,
解: {[x=−1.002 3 + 0.632 10i], [x=−1.002 3−0.632 10i], [x= 1.002 3 + 0.632 10i], [x= 1.002 3−0.632 10i], [x=−0.573 94], [x= 0.573 94], [x=−1.240 8i], [x= 1.240 8i]}
◮ 求解+ 数値解 [ x2+y2= 5
x2−y2= 1 ]
,
解: {[x=−1.732 1, y=−1.414 2], [x=−1.732 1, y= 1.414 2], [x= 1.732 1, y=−1.414 2], [x= 1.732 1, y= 1.414 2]}
求解+数値解のコマンドは,超越方程式や連立超越方程式を解く際や中間解を指定する際に,特に 役立ちます.
◮ 変数の範囲を限定して数値解を求める
1. カーソルを最後の方程式の行に配置してenterキーを押します. 行列またはディスプレイ の入力ボックスが追加されます.
2. 目的の変数に対する範囲を記号∈を使って記述します.
◮ 求解+ 数値解 x2+y2= 5 x2−y2= 1 x∈(−2,0) y∈(0,2)
,解: [x=−1.732 1, y= 1.414 2]
◮ 多項式の連立方程式から, すべての数値解を求める 1. 連立方程式のどれか一つの係数に小数点を付けます. 2. 求解サブメニューから解コマンドを選択します.
◮ 求解+解
x2+y2= 5.0 x2−y2= 1.0 ,解:
{y=−1.4142, x= 1.7321} {y=−1.4142, x=−1.7321} {y= 1.4142, x= 1.7321} {y= 1.4142, x=−1.7321}
これら4つの式からなる連立方程式を次に図示します.円と2つの曲線の交点が解になります. 陰 関数からこのような図を作成する方法は168ページを参照してください.
◮ 2Dプロット+陰関数 x2+y2= 5
x2−y2= 1
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3
x y
x y
計算結果の表示桁数や科学記数法の変更方法については28ページを参照してください.
3.3.5 不等式
不等式の計算機能について紹介します.
◮ 不等式を解く
Example 6 • 不等式にカーソルを配置し,求解メニューから解を選択します.
◮ 求解+解
16−7y≥10y−4,解: (
−∞,20 17 ]
x3+ 1> x2+x,解: (−1,1)∪(1,∞)
|2x+ 3| ≤1,解: [−2,−1]
7−2x
x−2 ≥0,解: ( 2,72]
x2+ 2x−3>0,解: (1,∞)∪(−∞,−3)
これらの解の意味は,カッコの形状により,以下のようになります.
(a, b) ={x:a < x < b} [a, b] ={x:a≤x≤b} (a, b] ={x:a < x≤b} [a, b) ={x:a≤x < b} 2つの集合AとB について,